高次方程式の数値解法と代数解法

以下のような高次方程式をニュートン法，２分法および代数解法により解きます．
f(x)=anxn+an-1xn-1+ ... + a1x+a0=0
方程式の次数を指定してボタンを押してください=>

OK を押すと４次以下は代数解法，５次以上はニュートン法が自動的に選択されます． その他のボタンを押すと，対応する解法が選択されます．

ニュートン法

すべての実数解を求めるために，ニュートン法で見つけた解を用いて多項式の次数を下げ， ニュートン法を繰り返し適用しています．
  1. 初期点 x0，解精度，最大反復回数，関数値精度を指定します．
  2. f(x)=0 の実数解を一つ求めるために，ニュートン法を用います．
    1. 以下の更新式に基づき，|xi+1-xi| が解精度以下になるか， 更新回数が最大反復回数を超えるまで xi を更新します．
      xi+1 = xi - f(xi)/f'(xi), i=0,1,2,...
    2. 最終のxiの値，そのときの yi=f(xi) の値，反復回数 i を表示します．
  3. |yi| が関数値精度を越えていれば，処理を終了します．
    この場合，x を Complex と表示し，y に f(x) を表示します．
  4. f(x)=(x-xi)P(x)+C を満足する多項式 P(x) を求めます．
    C(=yi) は微小値となりますので，無視します．
  5. P(x) を新たな f(x) として，II へ戻ります．
制限事項

２分法

  1. 探索範囲 [xa, xb]，範囲分割数 n 個，解精度を指定します．
  2. 各範囲の大きさを w=(xb-xa)/n とします．
  3. 各範囲[xi,xi+1], xi=xa+w*i, i=0,1,2,...,n-1 において，以下の処理を行います．
    1. xp=xi, xq=xi+1 とします．
    2. f(xp)*f(xq)>0 ならば，区間 [xp,xq] には解は存在しないと判断し，処理を終了します．
      そうでなければ，区間内に解が存在しますので，次に進みます．
    3. 中点 x=(xp+xq)/2 における関数値を y=f(x) とします．
    4. f(xp)*y<=0 ならば，xq=x，そうでなければ y*f(xq)<=0 ですので，xp=x とします．
    5. (xq-xp) が解精度以下になれば解 x と関数値 y を表示して処理を終了します．
      そうでなければ，c.へ戻ります
制限事項

代数解法

  1. １次方程式 a x + b = 0 (a≠0)
    x = -b/a
    ただし，a=0, b=0 ならば任意，a=0, b≠0 ならば不能．
  2. ２次方程式 a x2+ b x + c = 0 (a≠0)
    x = 1/2(-b±(b2-4ac)1/2)
  3. ３次方程式 a x3+ b x2 + c x + d = 0 (a≠0)
    1. 係数を a で割り，x3+ b x2 + c x + d = 0 に変形する．
    2. x = y - b/3 により，y3+p y+q=0 に変形する．
      ただし，p=c-b2/3, q=d-bc/3+2b3/27 とする．
    3. t2+qt-p3/27=0 の解を t1, t2 とする．
    4. u=t11/3, v=t21/3 とする．
    5. x1=u + v - b/3
      x2=u w + v w2- b/3
      x3=u w2+ v w - b/3
      ただし，w=e2πi/3 である．
  4. ４次方程式 a x4+ b x3 + c x2 + d x + e = 0 (a≠0)
    1. 係数を a で割り，x4+ b x3 + c x2 + d x + e = 0 に変形する．
    2. x = y - b/4 により，y4+p y2+ q x + r =0 に変形する．
      ただし，p=c-3b2/8, q=d-bc/2+b3/8, r=e-bd/4+b2c/16-3b4/256 である．
    3. t3+p/2 t2+(p2/16-r/4)t-q2/64=0 の解を t1, t2, t3 とする．
    4. u=t11/2, v=t21/2, w=t31/2 とする．
      ただし，u v w=-q/8 となるように，w の符号を調整する．
    5. x1= u + v + w - b/4
      x2= u - v - w - b/4
      x3=-u + v - w - b/4
      x4=-u - v + w - b/4
制限事項